Über die Verfassungsbeschwerde ist nicht mehr zu entscheiden, weil der Beschwerdeführer sie für erledigt erklärt hat (vgl. BVerfGE 85, 109 113>). Zu befinden ist noch über die Anträge des Beschwerdeführers auf Erstattung seiner Auslagen und Gewährung von Prozesskostenhilfe nebst Beiordnung eines Rechtsanwalts. Die Entscheidung darüber obliegt der Kammer (§ 93d Abs. 2 Satz 1 BVerfGG; vgl. BVerfGE 72, 34 38 f.>). Beide Anträge haben keinen Erfolg.

1. Für die erstrebte Anordnung der Auslagenerstattung bestehen keine genügenden Billigkeitsgründe.

a) Nach § 34a Abs. 3 BVerfGG ist im Falle der Erledigung der Verfassungsbeschwerde über die Erstattung der Auslagen des Beschwerdeführers nach Billigkeitsgesichtspunkten zu entscheiden. Dabei ist eine Gesamtwürdigung aller bekannten Umstände vorzunehmen. Auf eine summarische Prüfung der Erfolgsaussicht der Verfassungsbeschwerde kommt es regelmäßig nicht an (vgl. BVerfGE 33, 247 264 f.>; 85, 109 115>; 87, 394 398>; Kunze, in: Umbach/Clemens/Dollinger, BVerfGG, 2. Aufl. 2005, § 34a Rn. 40, 44 f.). Im Hinblick auf Funktion und Tragweite der Entscheidungen des Bundesverfassungsgerichts kommt eine Erstattung von Auslagen jedoch dann in Frage, wenn die Erfolgsaussicht der Verfassungsbeschwerde offensichtlich war und unterstellt werden kann, oder wenn die verfassungsrechtliche Lage - etwa durch eine Entscheidung des Bundesverfassungsgerichts in einem gleich liegenden Fall - geklärt worden ist (vgl. BVerfGE 85, 109 114 ff.>). Grundsätzlich kommt die Anordnung der Auslagenerstattung auch in Betracht, wenn der verantwortliche Hoheitsträger die mit der Verfassungsbeschwerde gerügte Belastung beseitigt oder der Verfassungsbeschwerde auf andere Weise abgeholfen hat, und diesem Verhalten entnommen werden kann, dass der Hoheitsträger selbst davon ausgeht, das Anliegen des Beschwerdeführers sei berechtigt gewesen (vgl. BVerfGE 85, 109 114 f.>; 87, 394 397>; 91, 146 147>).

b) Im vorliegenden Fall hat das Oberlandesgericht zwar seine angegriffene Ausgangsentscheidung im Hinblick auf § 119 Abs. 1 Satz 2 ZPO korrigiert (vgl. BVerfG, Beschluss der 3. Kammer des Ersten Senats vom 29. Dezember 2009 - 1 BvR 1781/09 -, NJW 2010, S. 987 f. Rn. 13 ff.). Im Zeitpunkt der Einlegung der Verfassungsbeschwerde vor Erlass der Abhilfeentscheidung des Oberlandesgerichts und bis zum Wegfall der Beschwer des Beschwerdeführers war die Verfassungsbeschwerde indessen unzulässig, so dass trotz der Abhilfe eine Auslagenerstattung nicht der Billigkeit entspricht. Das Oberlandesgericht hatte bei Einlegung der Verfassungsbeschwerde noch nicht über die statthafte Anhörungsrüge des Beschwerdeführers entschieden. Bei Einlegung war mithin der Rechtsweg noch nicht erschöpft (§ 90 Abs. 2 Satz 1 BVerfGG), ohne dass der Beschwerdeführer die Voraussetzungen des § 90 Abs. 2 Satz 2 BVerfGG dargetan hätte. Mit der im Anhörungsrügeverfahren erlassenen Abhilfeentscheidung des Oberlandesgerichts war eine Beschwer des Beschwerdeführers nicht mehr gegeben (vgl. BVerfG, Beschluss der 1. Kammer des Ersten Senats vom 11. Juli 2002 - 1 BvR 226/02 -, NJW 2002, S. 3388; Beschluss der 3. Kammer des Ersten Senats vom 24. April 2008 - 1 BvR 206/08 -, juris, Rn. 4 f.). Dass das Oberlandesgericht in dieser Entscheidung nicht auf die Anhörungsrüge, sondern auf die zugleich eingelegte Gegenvorstellung des Beschwerdeführers Bezug genommen hat, ist ohne Belang.

2. Aus den genannten Gründen ist dem Beschwerdeführer entsprechend §§ 114 ff. ZPO (vgl. BVerfGE 1, 109 110 ff.>; 1, 415 416>; 79, 252 253>; 92, 122 123>) Prozesskostenhilfe für das Verfassungsbeschwerdeverfahren nicht zu gewähren; denn seine Rechtsverfolgung im Verfassungsbeschwerdeverfahren bot zu keinem Zeitpunkt hinreichende Aussicht auf Erfolg.

Diese Entscheidung ist unanfechtbar.